Расчет показателей надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем

В качестве объекта, надежность которого требуется определить, рассмотрим некоторую сложную систему S, состоящую из отдельных элементов (блоков). Задача расчета надежности сложной системы состоит в том, чтобы определить ее показатели надежности, если известны показатели надежности отдельных элементов и структура системы, т.е. характер связей между элементами с точки зрения надежности.

Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система, состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рис.4).

Рисунок 4. Схема логического соединения элементов нерезервированной системы

Методы расчета

В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу изделия, различают ориентировочный и полный расчет показателей надежности.

При ориентировочном расчете показателей надежности необходимо знать структуру системы, номенклатуру применяемых элементов и их количество. Ориентировочный расчет учитывает влияние на надежность только количества и типов, входящих в систему элементов, и основывается на следующих допущениях:

Все элементы данного типа равнонадежны, т.е. величины интенсивности отказов () для этих элементов одинаковы;

Все элементы работают в номинальном (нормальном) режиме, предусмотренном техническими условиями;

Интенсивности отказов всех элементов не зависят от времени, т.е. в течение срока службы у элементов, входящих в изделие, отсутствует старение и износ, следовательно ;

Отказы элементов изделия являются событиями случайными и независимыми;

Все элементы изделия работают одновременно.

Ориентировочный метод расчета используется на этапе эскизного проектирования после разработки принципиальных электрических схем изделий и позволяет наметить пути повышения надежности изделия.

Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей вероятность безотказной работы системы Р с (t) равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов:

,

где - вероятность безотказной работы i-го элемента.

Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности и известны их интенсивности отказов. Тогда и для системы справедлив экспоненциальный закон распределения надежности:

,

где - интенсивность отказов системы.

Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов:

Если все элементы данного типа равнонадежны, то интенсивность отказов системы будет

где: - число элементов i-го типа; r – число типов элементов.

Выбор для каждого типа элементов производится по соответствующим таблицам.

Среднее время наработки до отказа и частота отказов системы соответственно равны:

, .

На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы высоконадежных систем. При этом произведение значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к единице. В этом случае количественные характеристики надежности можно с достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным формулам:

, , , .

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета и возводить их в степень. При значениях вероятность P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнить по следующим приближенным формулам:

, ,

где - вероятность отказа i-го блока.

Полный расчет показателей надежности изделия выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов изделия.

Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы, сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надежность как изделия в целом, так и отдельных его составляющих частей. Выполнение окончательного расчета параметров надежности возможно только при наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов и при наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их электрической нагрузки, температуры окружающей среды и других факторов, т.е. для окончательного расчета необходимо знать зависимости

.

Эти зависимости приводятся в виде графиков либо их можно рассчитать с помощью так называемых поправочных коэффициентов интенсивности отказов .

При разработке и изготовлении элементов обычно предусматриваются определенные, так называемые «нормальные» условия работы. Интенсивность отказов элементов в «нормальном» режиме эксплуатации называется номинальной интенсивностью отказов .

Интенсивность отказов элементов при эксплуатации в реальных условиях равна номинальной интенсивности отказов , умноженной на поправочные коэффициенты , т.е.

,

где: - интенсивность отказов элемента, работающего в нормальных условиях при номинальной электрической нагрузке; - поправочные коэффициенты, зависящие от различных воздействующих факторов.

Полный расчет надежности применяется на этапе технического проектирования изделия.

Типовые примеры

Пример 1. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч. равны: р 1 (100) = 0,95; р 2 (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон распределения надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы системы по формуле:

Найдем интенсивность отказов системы. Для этого воспользуемся формулой:

Тогда . Из этого выражения найдем .

Или (1/ч).

Среднее время наработки до первого отказа

(ч).

Пример 2 . В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность отказов которых равна 1/ч. Системы имеют число элементов N 1 = 500, N 2 = 2500. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность безотказной работы в конце первого часа P c (t)

1.13. Показатели безопасности технических систем

§ 2. Основные положения теории риска

2.1. Понятие риска

2.2. Развитие риска на промышленных объектах

2.3. Основы методологии анализа и управления риском

2.3.1. Анализ риска: понятие и место в обеспечении безопасности технических систем

2.3.2. Оценка риска: понятие и место в обеспечении безопасности технических систем

2.3.3. Управление риском: понятие и место в обеспечении безопасности технических систем

2.3.4. Общность и различие процедур оценки и управления риском

2.3.5. Количественные показатели риска

2.4. Моделирование риска

2.5. Принципы построения информационных технологий управления риском

§ 3. Роль внешних факторов, воздействующих на формирование отказов технических систем

3.1. Общие замечания

3.2. Классификация внешних воздействующих факторов

3.3. Воздействие температуры

3.4. Воздействие солнечной радиации

3.5. Воздействие влажности

3.6. Воздействие давления

3.7. Воздействие ветра и гололеда

3.8. Воздействие примесей воздуха

3.9. Воздействие биологических факторов

3.10. Старение материалов

3.11. Факторы нагрузки

§ 4. Основны теории расчета надежности технических систем

4.1. Основные понятия теории надежности

4.2. Количественные характеристики надежности

4.3. Теоретические законы распределения отказов

4.4. Резервирование

4.4.2. Способы структурного резервирования

4.5. Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов

Надежность резервированной системы

Включение резервного оборудования системы замещением

Надежность резервированной системы в случае комбинаций отказов и внешних воздействий

Анализ надежности систем при множественных отказах

§ 5. Методика исследования надежности технических систем

5.1. Системный подход к анализу возможных отказов: понятие, назначение, цели и этапы, порядок, границы исследования

5.2. Выявление основных опасностей на ранних стадиях проектирования

5.3. Исследования в предпусковой период

5.4. Исследования действующих систем

5.5. Регистрация результатов исследования

5.6. Содержание информационного отчета по безопасности процесса

§ 6. Инженерные методы исследования безопасности технических систем

6.1. Понятие и методология качественного и количественного анализа опасностей и выявления отказов систем

6.2. Порядок определения причин отказов и нахождения аварийного события при анализе состояния системы

6.3. Предварительный анализ опасностей

6.4. Метод анализа опасности и работоспособности- аор (hazard and operability study - hazop)

6.5. Методы проверочного листа (check-list) и "что будет если...?" ("what - if")

6.6. Анализ вида и последствий отказа - авпо (failure mode and effects analysis - fmea)

6.7. Анализ вида, последствий и критичности отказа- авпко (failure mode, effects and critical analysis - fmeca)

6.8. Дерево отказов - до (fault tree analysis - fta)

6.9. Дерево событий - дс (event tree analysis - еta)

6.10. Дерево решений

6.11. Логический анализ

6.12. Контрольные карты процессов

6.13. Распознавание образов

6.14. Таблицы состояний и аварийных сочетаний

§ 7. Оценка надежности человека как звена сложной технической системы

7.1. Причины совершения ошибок

7.2. Методология прогнозирования ошибок

7.3. Принципы формирования баз об ошибках человека

§ 8. Организация и проведение экспертизы технических систем

8.1. Причины, задачи и содержание экспертизы

8.2. Организация экспертизы

8.3. Подбор экспертов

8.4. Экспертные оценки

8.5. Опрос экспертов

8.6. Оценка согласованности суждений экспертов

8.7. Групповая оценка и выбор предпочтительного решения

8.8. Принятие решения

8.9. Работа на завершающем этапе

§ 9. Мероприятия, методы и средства обеспечения надежности и безопасности технических систем

9.1. Стадия проектирования технических систем

9.2. Стадия изготовления технических систем

9.3. Стадия эксплуатации технических систем

9.4. Техническая поддержка и обеспечение

9.5. Технические средства обеспечения надежности и безопасности технических систем

9.6. Организационно-управленческие мероприятия

9.7. Диагностика нарушений и аварийных ситуаций в технических системах

9.8. Алгоритм обеспечения эксплуатационной надежности технических систем

§ 10. Технические системы безопасности

10.1. Назначение и принципы работы защитных систем

10.2. Типовые структуры и принципы функционирования автоматических систем защиты

10.3. Автоматическая интеллектулизированная система защиты объекта и управления уровнем безопасности

10.4. Типовые локальные технические системы и средства безопасности

§ 11. Правовые аспекты анализа риска и управления промышленной безопасностью

11.1. Классификация промышленных объектов по степени опасности

11.2. Оценка опасности промышленного объекта

11.3. Декларация безопасности опасного промышленного объекта

11.4. Требования к размещению промышленного объекта

11.5. Система лицензирования

11.6. Экспертиза промышленной безопасности

11.7. Информирование государственных органов и общественности об опасностях и авариях

11.8. Ответственность производителей или предпринимателей за нарушения законодательства и нанесенный ущерб

11.9. Учет и расследование

11.10. Участие органов местного самоуправления и общественности в процессах обеспечения промышленной безопасности

11.11. Государственный контроль и надзор за промышленной безопасностью

11.13. Экономические механизмы регулирования промышленной безопасности

11.14. Российское законодательство в области промышленной безопасности

§ 12. Принципы оценки экономического ущерба от промышленных аварий

12.1. Понятие ущерба и вреда. Структура вреда

12.2. Экономический и экологический вред

12.3. Принципы оценки экономического ущерба

4.5. Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов

Целевое назначение и классификация методов расчета

Расчеты надежности - расчеты, предназначенные для определения количественных показателей надежности. Они проводятся на различных этапах разработки, создания и эксплуатации объектов.

На этапе проектирования расчет надежности производится с целью прогнозирования (предсказания) ожидаемой надежности проектируемой системы. Такое прогнозирование необходимо для обоснования предполагаемого проекта, а также для решения организационно-технических вопросов:

Выбора оптимального варианта структуры;

Способа резервирования;

Глубины и методов контроля;

Количества запасных элементов;

Периодичности профилактики.

На этапе испытаний и эксплуатации расчеты надежности проводятся для оценки количественных показателей надежности. Такие расчеты носят, как правило, характер констатации. Результаты расчетов в этом случае показывают, какой надежностью обладали объекты, прошедшие испытания или используемые в некоторых условиях эксплуатации. На основании этих расчетов разрабатываются меры по повышению надежности, определяются слабые места объекта, даются оценки его надежности и влияния на нее отдельных факторов.

Многочисленные цели расчетов привели к большому их разнообразию. На рис. 4.5.1 изображены основные виды расчетов.

Элементный расчет - определение показателей надежности объекта, обусловленных надежностью его комплектующих частей (элементов). В результате такого расчета оценивается техническое состояние объекта (вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии, средняя наработка на отказ и т.п.).

Рис. 4.5.1. Классификация расчетов надежности

Расчет функциональной надежности - определение показателей надежности выполнения заданных функций (например, вероятность того, что система очистки газа будет работать заданное время, в заданных режимах эксплуатации с сохранением всех необходимых параметров по показателям очистки). Поскольку такие показатели зависят от ряда действующих факторов, то, как правило, расчет функциональной надежности более сложен, чем элементный расчет.

Выбирая на рис 4.5.1 варианты перемещений по пути, указанному стрелками, каждый раз получаем новый вид (случай) расчета.

Самый простой расчет - расчет, характеристики которого представлены на рис. 4.5.1 слева: элементный расчет аппаратурной надежности простых изделий, нерезервированных, без учета восстановлений работоспособности при условии, что время работы до отказа подчинено экспоненциальному распределению.

Самый сложный расчет - расчет, характеристики которого представлены на рис. 4.5.1 справа: функциональной надежности сложных резервированных систем с учетом восстановления их работоспособности и различных законов распределения времени работы и времени восстановления.

Выбор того или иного вида расчета надежности определяется заданием на расчет надежности. На основании задания и последующего изучения работы устройства (по его техническому описанию) составляется алгоритм расчета надежности, т.е. последовательность этапов расчета и расчетные формулы.

Последовательность расчета систем

Последовательность расчета системы представлена на рис. 4.5.2. Рассмотрим основные ее этапы.

Рис. 4.5.2. Алгоритм расчета надежности

Прежде всего четко следует сформулировать задание на расчет надежности. В нем должны быть указаны: 1) назначение системы ее состав и основные сведения о функционировании; 2) показатели надежности и признаки отказов, целевое назначение расчетов; 3) условия, в которых работает (или будет работать) система; 4) требования к точности и достоверности расчетов, к полноте учета действующих факторов.

На основании изучения задания делается вывод о характере предстоящих расчетов. В случае расчета функциональной надежности осуществляется переход к этапам 4-5-7, в случае расчета элементов (аппаратурной надежности) - к этапам 3-6-7.

Под структурной схемой надежности понимается наглядное представление (графическое или в виде логических выражений) условий, при которых работает или не работает исследуемый объект (система, устройство, технический комплекс и т.д.). Типовые структурные схемы представлены на рис. 4.5.3.

Рис. 4.5.3. Типовые структуры расчета надежности

Простейшей формой структурной схемы надежности является параллельно-последовательная структура. На ней параллельно соединяются элементы, совместный отказ которых приводит к отказу.

В последовательную цепочку соединяются такие элементы, отказ любого из которых приводит к отказу объекта.

На рис. 4.5.3,а представлен вариант параллельно-последовательной структуры. По этой структуре можно сделать следующее заключение. Объект состоит из пяти частей. Отказ объекта наступает тогда, когда откажет или элемент 5, или узел, состоящий из элементов 1-4. Узел может отказать тогда, когда одновременно откажет цепочка, состоящая из элементов 3,4 и узел, состоящий из элементов 1,2. Цепь 3-4 отказывает, если откажет хотя бы один из составляющих ее элементов, а узел 1,2 - если откажут оба элемента, т.е. элементы 1,2. Расчет надежности при наличии таких структур отличается наибольшей простотой и наглядностью. Однако не всегда удается условие работоспособности представить в виде простой параллельно-последовательной структуры. В таких случаях используют или логические функции, или графы и ветвящиеся структуры, по которым оставляются системы уравнений работоспособности.

На основе структурной схемы надежности составляется набор расчетных формул. Для типовых случаев расчета используются формулы, приведенные в справочниках по расчетам надежности, стандартах и методических указаниях. Прежде чем применять эти формулы, необходимо предварительно внимательно изучить их существо и области использования.

Расчет надежности, основанный на использовании параллельно-последовательных структур

Пусть некоторая техническая система D составлена из n элементов (узлов). Допустим, надежности элементов нам известны. Возникает вопрос об определении надежности системы. Она зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функция каждого из них и в какой мере исправная работа каждого элемента необходима для работы системы в целом.

Параллельно-последовательная структура надежности сложного изделия дает представление о связи между надежностью изделия и надежностью его элементов. Расчет надежности ведется последовательно - начиная от расчета элементарных узлов структуры к ее все более сложным узлам. Например, в структуре рис. 5.3,а узел, состоящий из элементов 1-2 - элементарный узел, состоящий из элементов 1-2-3-4, сложный. Эта структура может быть сведена к эквивалентной, состоящей из элементов 1-2-3-4 и элемента 5, соединенных последовательно. Расчет надежности в данном случае сводится к расчету отдельных участков схемы, состоящих из параллельно и последовательно соединенных элементов.

Система с последовательным соединением элементов

Самым простым случаем в расчетном смысле является последовательное соединение элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. По аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого из которых равносилен размыканию всей цепи, мы и называем такое соединение "последовательным" (рис. 4.5.4). Следует пояснить, что "последовательным" такое соединение элементов является только в смысле надежности, физически они могут быть соединены как угодно.

Рис. 4.5.4. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов

С позиции надежности, такое соединение означает, что отказ устройства, состоящего из этих элементов, происходит при отказе элемента 1 или элемента 2, или элемента 3, или элемента n. Условие работоспособности можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 и элемент 2, и элемент 3, и элемент n.

Выразим надежность данной системы через надежности ее элементов. Пусть имеется некоторый промежуток времени (0,τ), в течение которого требуется обеспечить безотказную работу системы. Тогда, если надежность системы характеризуется законом надежности Р(t), нам важно знать значение этой надежности при t=τ, т.е. Р(τ). Это не функция, а определенное число; отбросим аргументτи обозначим надежность системы просто Р. Аналогично обозначим надежности отдельных элементов P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n .

Для безотказной работы простой системы в течение времени τнужно, чтобы безотказно работал каждый из ее элементов. Обозначим S - событие, состоящее в безотказной работе системы за времяτ; s 1 , s 2 , s 3 , ..., s n - события, состоящие в безотказной работе соответствующих элементов. Событие S есть произведение (совмещение) событий s 1 , s 2 , s 3 , ..., s n:

S=s 1 ×s 2 ×s 3 ×...×s n .

Предположим, что элементы s 1 , s 2 , s 3 , ..., s n отказывают независимо друг от друга (или, как говорят применительно к надежности, "независимы по отказам", а совсем кратко "независимы"). Тогда по правилу умножения вероятностей для независимых событий Р(S)=P(s 1)×P(s 2)×P(s 3)×...×P(s n) или в других обозначениях,

Р = Р 1 ×Р 2 ×Р 3 ×...×Р n ., (4.5.1)

а короче P= , (4.5.2)

т.е. надежность (вероятность работоспособного состояния) простой системы, составленной из независимых по отказам, последовательно соединенных элементов, равна произведению надежностей ее элементов.

В частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежностью P 1 =P 2 =P 3 = ... =P n , выражение (4.5.2) принимает вид

Р = P n . (4.5.3)

Пример 4.5.1. Система состоит из 10 независимых элементов, надежность каждого из которых равна Р=0,95. Определить надежность системы.

По формуле (4.5.3) Р = 0,95 10 »0,6.

Из примера видно, как резко падает надежность системы при увеличении в ней числа элементов. Если число элементов n велико, то для обеспечения хотя бы приемлемой надежности Р системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.

Поставим вопрос: какой надежностью Р должен обладать отдельный элемент для того, чтобы система, составленная из n таких элементов, обладала заданной надежностью Р?

Из формулы (4.5.3) получим:

Пример 4.5.2. Простая система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов. Какой надежностью должен обладать каждый из них для того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9?

По формуле (4.5.4) Р = ;lgР =lg0,9 1/1000 ; Р»0,9999.

Интенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределения времени до отказа легко определить из выражения

λ с =λ 1 +λ 2 +λ 3 + ... +λ n , (4.5.4)

т.е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Это и естественно, так как для системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равносилен отказу системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.

Формула (4.5.4) получается из выражения

Р = P 1 P 2 P 3 ...P n = ехр{-(λ 1 +λ 2 +λ 3 + ... +λ n)}. (4.5.5)

Среднее время работы до отказа

Т 0 = 1/λ с. (4.5.6)

Пример 4.5.3. Простая система S состоит из трех независимых элементов, плотности распределения времени безотказной работы которых заданы формулами:

при 0 < t < 1 (рис. 4.5.5).

Рис. 4.5.5. Плотности распределения времени безотказной работы

Найти интенсивность отказов системы.

Решение. Определяем ненадежность каждого элемента:

при 0

Отсюда надежности элементов:

при 0

Интенсивности отказов элементов (условная плотность вероятности отказов) - отношение f(t) к р(t):

при 0

Складывая, имеем: λ с =λ 1 (t) +λ 2 (t) +λ 3 (t).

Пример 4.5.4. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов, равные соответственно λ 1 =0,0001ч -1 иλ 2 =0,0002ч -1 . Требуется вычислить среднее время безотказной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы в течение 100ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать в момент времениt=0.

С помощью формулы (4.5.5) находим вероятность безотказной работы P s заданной системы в течение 100ч:

P s (100)=е -(0,0001+0,0002) × 100 =0,97045.

Используя формулу (4.5.6), получаем

ч.

Система с параллельным соединением элементов

На рис. 4.5.6 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, переходит в состояние отказа после отказа всех элементов при условии, что все элементы системы находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.

Рис. 4.5.6. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов

Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1 или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1; и 3, 2; и 3, 1; и 2; и 3.

Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из n параллельно соединенных элементов определяется по теореме сложения вероятностей совместных случайных событий как

Р=(р 1 +р 2 +...р n)-(р 1 р 2 +р 1 р 3 +...)-(р 1 р 2 р 3 +р 1 р 2 р n +...)-...±(р 1 р 2 р 3 ...р n). (4.5.7)

Для приведенной блок-схемы (рис. 4.5.6), состоящей из трех элементов, выражение (4.5.7) можно записать:

Р=р 1 +р 2 +р 3 -(р 1 р 2 +р 1 р 3 +р 2 р 3)+р 1 р 2 р 3 .

Применительно к проблемам надежности, по правилу умножения вероятностей независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из n элементов вычисляется по формуле

Р = 1- , (4.5.8)

т.е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их ненадежности (1-p i =q i) перемножаются.

В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, формула (4.5.8) принимает вид

Р = 1 - (1-р) n . (4.5.9)

Пример 4.5.5. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р=0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

Решение. По формуле (4.5.9) Р=1-(1-0,9) 3 =0,999.

Интенсивность отказов устройства состоящего из n параллельно соединенных элементов, обладающих постоянной интенсивностью отказов λ 0 , определяется как

Из (4.5.10) видно, что интенсивность отказов устройства при n>1 зависит от t: при t=0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до λ 0 .

Если интенсивности отказов элементов постоянны и подчинены показательному закону распределения, то выражение (4.5.8) можно записать

Р(t) = . (4.5.11)

Среднее время безотказной работы системы Т 0 находим, интегрируя уравнение (4.5.11) в интервале :

Т 0 =

=(1/ λ 1 +1/λ 2 +…+1/λ n)-(1/(λ 1 +λ 2)+ 1/(λ 1 +λ 3)+…)+ (4.5.12)

+(1/(λ 1 + λ 2 + λ 3)+1/(λ 1 + λ 2 + λ 4)+…)+(-1) n +1 ´ .

В случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (4.5.12) принимает вид

Т 0 = . (4.5.13)

Среднее время работы до отказа также можно получить, интегрируя уравнение (4.5.7) в интервале

Пример 4.5.6. Предположим, что два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик.

Требуется найти безотказность системы в течение 400ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двигателей вентиляторов постоянны и равны λ=0,0005ч -1 , отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t=0.

Решение. В случае идентичных элементов формула (4.5.11) принимает вид

Р(t) = 2еxp(-λt) - еxp(-2λt).

Поскольку λ= 0,0005 ч -1 и t = 400 ч, то

Р (400) = 2еxp(-0,0005´400) - еxp(-2´0,0005´400)=0,9671.

Среднюю наработку на отказ находим, используя (4.5.13):

Т 0 = 1/λ(1/1 + 1/2) = 1/λ´3/2 = 1,5/0,0005 = 3000 ч.

Способы преобразования сложных структур

Относительная простота расчетов надежности, основанных на использовании параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в инженерной практике. Однако не всегда условие работоспособности можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой. К таким преобразованиям относится:

Преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;

Разложение сложной структуры по базовому элементу.

Существо способа преобразования с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, что надежности преобразуемой цепи сохранялись прежними.

Пусть, например, требуется заменить треугольник (рис. 4.5.7,а) звездой (рис. 4.5.7,б) при условии, что вероятность отказа элемента a равна q 13 , элементаb равна q 12 , элементаc - q 23 . Переход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1-2, 1-3, 2-3. Поэтому значение вероятностей отказов элементов звезды q 1 , q 2 , q 3 должны удовлетворять следующим равенствам: (4.5.14)

Рис. 4.5.7. Преобразование "треугольник - звезда"

Если пренебречь произведениями вида q i q j ; q i q j q k , то в результате решения системы уравнения (4.5.14) можно записать:

q 1 =q 12 q 31 ; q 2 =q 23 q 12 ; q 3 =q 31 q 23 . (4.5.15)

Для обратного преобразования звезды в треугольник

q 12 = ; q 23 = ; q 31 = . (4.5.16)

Пример 4.5.7. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а вероятности отказов равны 0,1.

1. Преобразуем соединение элементов 1,2,5 в треугольник (рис. 4.5.8,а), в звезду (рис. 4.5.8, б).

Рис. 4.5.8. К примеру преобразования структуры

2. Определим эквивалентные значения вероятности отказов для новых элементов a, b, c

q a =q 1 q 2 =0,1´0,1 = 0,01;

q b =q 1 q 5 =0,1´0,1 = 0,01;

q с =q 2 q 5 =0,1´0,1 = 0,01.

3. Определим значения вероятности безотказного состояния элементов эквивалентной схемы (рис. 4.5.8,б)

p a = p b = p c = 0,99.

4. Определим вероятность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 4.5.9):

Р = р a (р b р 3 + р c р 4 - р b р 3 р c р 4) =

0,99(0,99´0,9+0,99´0,9 - 0,99´0,9´0,99´0,9) = 0,978.

Рис. 4.5.9. Преобразованная структура

Способ преобразования с помощью разложения сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаются следующие допущения:

Базовый элемент находится в работоспособном состоянии;

Базовый элемент находится в отказавшем состоянии.

Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структура преобразовывается в две новые схемы. В первой из них вместо базового элемента ставится "короткое замыкание" цепи, а во второй - разрыв. Вероятности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая - на вероятность безотказного состояния базового элемента, вторая - на вероятность отказа базового элемента. Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой вероятности безотказной работы сложной структуры.

Пример 4.5.8. Решить предыдущий пример методом разложения сложной структуры.

1. В качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 4.5.3,б).

2. Закоротим базовый элемент, т.е. сделаем допущение об абсолютной его проводимости. Присоединим к полученной структуре последовательно базовый элемент с характеристикой его надежности р 5 . В результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 4.5.10,а).

Рис. 4.5.10. Пример разложения мостиковой структуры по базовому элементу

3. Произведем обрыв базового элемента, т.е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности (непроводимости). К полученной структуре присоединим последовательно базовый элемент с характеристикой его ненадежности (1-р 5). В результате получим структуру (рис. 4.5.10,б).

4. Искомая вероятность равна сумме вероятностей структур (рис. 4.5.10,а,б), каждая из которых параллельно-последовательная. Поэтому

Р = р 5 [(р 1 +р 2 -р 1 р 2)(р 3 +р 4 -р 3 р 4)] + (1-р 5)[р 1 р 3 +р 2 р 4 -р 1 р 3 р 2 р 4 ]=

0,9[(0,9+0,9 - 0,9´0,9) ´ (0,9+0,9 - 0,9´0,9)] +

+ (1-0,9) ´ »0,978.

Вероятность безотказной работы мостиковой схемы, состоящей из пяти неодинаковых и независимых элементов, можно определить по формуле:

Р=2р 1 р 2 р 3 р 4 р 5 -р 2 р 3 р 4 р 5 -р 1 р 3 р 4 р 5 -р 1 р 2 р 4 р 5 -р 1 р 2 р 3 р 5 -

Р 1 р 2 р 3 р 4 +р 1 р 3 р 5 +р 2 р 3 р 4 +р 1 р 4 +р 2 р 5 . (4.5.17)

В случае идентичных элементов эта формула принимает вид

Р = 2р 5 -5р 4 +2р 3 +2р 2 . (4.5.18)

Подставляя соотношение (4.5.18) в формулу (4.5.4), получаем, что в случае использования элементов с постоянной интенсивностью отказов (экспоненциальном законе распределения отказов)

Р(t ) = 2ехр(-5 λ t )-5ехр(-4 λ t )+2ехр(-3 λ t )+2ехр(-2 λ t ). (4.5.19)

Среднее время безотказной работы системы Т 0 находим, путем интегрирования уравнения (5.19) в интервале :

Т 0 = 2ехр(-5λt)-5ехр(-4λt)+2ехр(-3λt)+2ехр(-2λt)dt=

= (49/60)´(1/λ). (4.5.20)

Пример 4.5.9. Определить вероятность безотказной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 4.5.3,б, если известно, что вероятности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

Так как все элементы идентичны, воспользуемся формулой (4.5.18); с ее помощью получаем:

Р = 2´0,9 5 - 5´0,9 4 +2´0,9 3 + 2´0,9 2 »0,978.

Пример 4.5.10. Требуется определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку на отказ системы, состоящей из пяти независимых и одинаковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 4.5.3,б); считается, что λ=0,0005ч -1 , t=100ч и все элементы начинают работать в момент времени t=0.

1.9.1 Постановка прямой и обратной задачи расчёта показателей надёжности (ПН). Расчёт ПН может решать 2 задачи: а) прямую задачу расчёта ПН, б) обратную задачу расчёта ПН. Цель прямой задачи расчёта ПН: определить значения показателей надежности (ПН) системы по известным значениям ПН ее элементов при заданных условиях эксплуатации.

В состав ПН могут входить показатели безотказности, ремонтопригодности, сохраняемости, долговечности. Упростим задачу: будем рассчитывать только показатели безотказности, считая поток отказов простейшим (модель отказов описывается экспоненциальным распределением, а отказы – независимыми друг от друга. Для такой модели используется очень простой ПН – интенсивность отказов λ = 1/Т , где Т – средняя наработка на отказ.

Прямая задача расчёта показателей надёжности формулируется следующим образом. Имеется объект, состоящий из нескольких частей (рис. 1.10). Известны показатели надёжности каждой составной части. Требуется рассчитать общий показатель надёжности объекта в целом. Пример 1.9.1 : имеется объект из трёх частей. Наработки на отказ Т i (средние)

Т i = 1/λ i (1.25)

каждой части равны соответственно 10 часов, 25 часов и 40 часов. Эта задача иногда именуется прямой задачей расчёта надёжности. В результате расчёта найден общий показатель надёжности объекта в целом (наработка на отказ), равный 6,1 часа.

ОБЪЕКТ В ЦЕЛОМ λобщ = ?

Рисунок 1.10 – К постановке прямой задачи расчёта надёжности

Кроме прямой существует обратная задача: распределить общий показатель надёжности объекта в целом между его составными частями (рис. 1.11) так, чтобы в результате прямого расчёта надёжности по полученным исходным данным (показателям надёжности каждой составной части) вновь рассчитанный общий показатель надёжности объекта в целом равнялся исходному показателю, подлежащему распределению между составными частями объекта.

ОБЪЕКТ В ЦЕЛОМ λ = λобщ

Рисунок 1.11 – К постановке обратной задачи расчёта надёжности

Задача решается при наличии ряда ограничений-условий. Пример 1.9.2 : имеется объект из трёх частей. Общий показатель надёжности объекта в целом Т (наработка на отказ) равна 6,1 часа. Требуется распределить общий показатель надёжности Т объекта в целом 6,1 часа между его составными частями. Вариант 1 решения – ограничений-условий нет. В этом случае существует множество решений, одним из которых является и решение «Наработки на отказ каждой части равны соответственно 10 часов, 25 часов и 40 часов». Вариант 2 решения – ограничение-условие сформулировано в виде: каждая из составных частей имеет свою сложность, определяемую, например, числом входящих в неё более мелких примерно равносложных компонентов.

часть 1 часть 2

Рисунок 1.12 – К понятию сложности: составная часть имеет свою сложность, определяемую числом входящих в неё более мелких равносложных компонентов

Распределение показателей надёжности должно учитывать эту сложность по принципу: чем выше сложность, тем ниже должна быть распределяемая наработка на отказ. Пример 1.9.3. Первая составная часть включает примерно 100 равносложных компонентов, вторая – примерно 200, третья – примерно 500. Требуется распределить общий показатель надёжности объекта в целом 6,1 часа между его составными частями при наличии вышеприведенного ограничения-условия. Решение – в в п. 1.9.4. Вариант 3 решения – ограничение-условие сформулировано в виде: первая составная часть (мозг) должна быть в 10 раз надёжнее (по интенсивности отказов) третьей составной части (руки и ноги) и в 2 раза надёжней второй составной части (сердце). Решение – в п. 1.9.4.

Проще всего рассчитывать показатели надёжности КТС (комплекса технических средств), поскольку надёжность КТС оценивается с 1940-х годов, а надёжность ПО (программного обеспечения) – только с 1980-х, следовательно методики расчёта надёжности КТС более разработаны, чем для ПО. Кроме того, для простоты расчёта целесообразно предположить экспоненциальный закон распределения отказов.

1.9.2 Расчёт надёжности КТС при последовательном соединении элементов в надёжностном смысле. Последовательном соединении элементов в надёжностном смысле означает, что отказ любого из элементов приводит к отказу КТС в целом. Это означает, что вероятность безотказной работы системы с интенсивностью отказов , состоящей из N элементов, каждый i -й из которых обладает интенсивностью отказов , равна произведению таких же вероятностей элементов, т. е.

Подставляя в формулу (1.25) формулы для вероятности безотказной работы при экспоненциальной модели отказа (табл. 1.1)

Выражение (1.27) легко преобразуется к виду

(1.28)

Для учёта влияния условий эксплуатации формулу (1.28) дополняют к виду

(1.29)

При этом в (1.29) – коэффициент эксплуатации, зависящий от параметров эксплуатации элемента. Таблицы зависимости названных коэффициентов от параметров эксплуатации, а также значения для различных элементов КТС приведены в . Например, для керамических конденсаторов часть необходимой таблицы имеет вид:

Таблица 1.2 – Зависимость от температуры и электрической нагрузки

Меньшая по объёму, чем в , таблица значений приведена в . Там же на с. 62 даны коэффициенты эксплуатации (также в объёме, меньшем, чем в ), учитывающие не только электрическую нагрузку и влияние температуры (эффект Аррениуса), но и поправку на место установки аппаратуры (лаборатория или офис, полевые условия, борт самолёта или морского судна). При расчёте следует учесть и надёжность паяных соединений (паек), а также обжимных соединений, которые для аппаратуры, прошедшей термоциклирование при изготовлении, можно принять равными для паек l i =10 -8 1/час, а для обжимных соединений l i =2 10 -8 1/час.

Пример 1.9.4 расчёта надёжности КТС. Исходные данные для расчёта надёжности вычислительного устройства, полученные на основе анализа КД, имеют вид:

Таблица 1.3 – Исходные данные для расчёта надёжности вычислительного устройства

Для расчёта рекомендуется использовать формулу (1.29) и справочник . Количество паек следует подсчитать суммированием паяных соединений по каждому из элементов табл. 1.3, не забывая об их количестве. В итоге расчёта имеем = 1/ч, а наработка на отказ КТС = 1/... =…(ч).

Полученные в итоге расчёта надёжности как КТС, так и КС в целом, результаты анализируются разработчиком совместно с заказчиком. При превышении заданных требований к надёжности полученных в результате расчёта величин заказчик и разработчик имеют 2 варианта дальнейшего проведения работ. 1-й вариант – согласиться на снижение требований к надёжности. 2-й вариант – при наличии средств и времени на основании такого анализа может быть принято решение о переработке схемы электрической принципиальной КТС в части а) выбора более надёжного КТС б) облегчения нагрузок (условий эксплуатации), в которых работают отдельные элементы

Пример 1.9.5 расчёта надёжности КТС. Исходные данные для расчёта надёжности ВС, полученные на основе анализа КД и данных из работы имеют вид:

Таблица 1.4 – Исходные данные для расчёта надёжности КС

Наименование элемента	Коли- чество	Наработка на отказ,тыс. ч	Интенси- вность отказов, (1/ч)*10 -6	Общая интенсив-ность отказов по строке, (1/ч)*10 -6	Примечание
1. Компьютер фирмы (ф.) Ostagon Systems		17,5	57,1
2. Источник вторичного эле-ктропитания PW -250 ф. Portwell
3. Контроллер 5815 жёстких дисков ф. Ostagon Systems		71,5
4. НЖД типа WDE18300/AV ф. Western Digital
5. Доп. компонен-ты компьютера ф. Ostagon Systems, в т.ч. сетевой адаптер 5500			2,97
6. Видеоадаптер 2430			2,94
7. Плата последо-вательного интерфейса 5554			1,33
8. Многофункцио-нальная плата вв/ выв с паралле-льным портом и портом клавиатуры			1,34
9. Монитор		27,2	36,8
10, 11. Мышь и клавиатура		≈0	Немедленно заменяются на работоспособные при отказе
Итого	430 1/ч = 2330 ч

1.9.3 Расчёт надёжности КТС при параллельном соединении элементов в надёжностном смысле. Аналогичным образом можно рассчитать и надёжность КТС при параллельном соединении элементов КТС. Параллельное соединение означает, что отказ любого из элементов не приводит к отказу КТС в целом. Отказ КТС в целом наступает при отказе всех элементов. Это легко проиллюстрировать примером двухканальной системы обработки информации (рис. 1.12).

Рисунок 1.12 – Двухканальная система обработки информации

Каждый канал – элемент системы. При отказе одного из каналов система не теряет работоспособность по второму каналу, который продолжает обрабатывать информацию. В этом случае суммарная вероятность отказа для системы из двух элементов, каждый из которых имеет вероятность отказа равна

(1.30)

Подставляя в (1.30) значения , а также найденные из (1.5), получим:

Несложно показать, например, на двух пересекающихся окружностях разного диаметра, что формула (1.25) реализует логическую операцию И ((логическое произведение или для множеств S1 и S2 их пересечение S3 = S1 S2 /множество всех элементов, содержащихся и в S1 , и в S2 /), а формула (1.32) – логическую операцию ИЛИ (логическую сумму или объединениеS3 = S1 S2, S1+S2 множеств /множество всех элементов, содержащихся либо в S1 , либо в S2 , либо и в S1 , и в S2 /).

Анализ понятий «Последовательное и параллельное соединение элементов СКС в надёжностном смысле». Суть понятий «Последовательное соединение элементов СКС в надёжностном смысле» и «Параллельное соединение элементов СКС в надёжностном смысле» изложена в пункте 1. Сравнение методов расчёта надёжности при последовательном и параллельном соединении элементов показывает, что:

1) расчёт при последовательном соединении элементов проще и понятнее расчёта при параллельном соединении,

2) оценка показателя безотказности, полученная в предположении последовательного соединения элементов, будет ниже, чем аналогичная при параллельном соединении, поэтому первую оценку будем считать минимальной оценкой безотказности, а вторую – максимальной.

3) выбор того или другого типа соединения элементов в надёжностном смысле зависит от изложения критериев отказов в документации. Если записанным, например в паспорт СКС, критерием отказа СКС является выход из строя любого элемента СКС (при этом СКС будет продолжать работать, но с меньшей эффективностью), то следует использовать только «Последовательное соединение элементов СКС в надёжностном смысле». Если же запись критерия отказа в паспорт СКС не содержит требований по эффективности (например, работоспособной признаётся СКС только с 2-мя компьютерами или каналами), то следует использовать «Параллельное соединение элементов СКС в надёжностном смысле».

1.9.4 Решения обратной задачи расчёта показателей надёжности . В п. 1.9.1 остались нерешёнными 2 обратные задачи расчёта показателей надёжности. Их можно решить, используя материал пунктов 1.9.2–1.9.3. Итак,

Пример 1.9.3. Первая составная часть включает примерно 100 равносложных компонентов, вторая – примерно 200, третья – примерно 500. Требуется распределить общий показатель надёжности объекта в целом 6,1 часа между его составными частями при наличии вышеприведенного ограничения-условия. Решение. Всего равносложных компонентов

100+200+500 = 800 (компонентов).

Следовательно, на один равносложный компонент приходится интенсивность отказов

1/6,1 /800 = 0,000205 (1/час)

Это значит, что интенсивности отказов и наработки на отказ составных частей равны

Первой части – интенсивность 0,000205*100 = 0,0205 (1/час), наработка 1/0,0205 = 48,8 ч,

Второй части – интенсивность 0,000205*200 = 0,0410 (1/час), наработка 1/0,0410 = 24,4 ч,

Третьей части – интенсивность 0,000205*500 = 0,1025 (1/час), наработка 1/0,1025 = 9,76 ч,

Проверка – 0,0205+0,0410+0,1025=0,1640, 1/01640 = 6,1 ч.

Пример 1.9.4 Вариант 3 решения – ограничение-условие сформулировано в виде: первая составная часть (мозг) должна быть в 10 раз надёжнее (по интенсивности отказов) третьей составной части (руки и ноги) и в 2 раза надёжней второй составной части (сердце). Решение. Сумма индексов надёжности –

мозг/сердце/руки и ноги = 10/5/1 = 10+5+1 = 16.

Следовательно, на один индекс приходится интенсивность отказов

1/6,1 /16 = 0,01026 (1/час)

Тогда интенсивности отказов и наработки на отказ составных частей равны

Первой части – интенсивность 0,01026*10 = 0,1026 (1/час), наработка 1/0,1026 = 9,75 ч,

Второй части – интенсивность 0,01026*5 = 0,0513 (1/час), наработка 1/0,0513 = 19,5 ч,

Третьей части – интенсивность 0,01026= 0,01026 (1/час), наработка 1/0,01026 = 97,5 ч,

Проверка – 0,1026+0,0513+0,01026=0,1642, 1/01642 = 6,1 ч.

В данном изложении рассматриваются общие методы получения оценок параметров, определяющих надежность изделий.

Эти методы могут быть использованы при обработке результатов наблюдений над изделием, срок безотказной работы которых подчинен тому или иному распределению - показательному, Вейбулла, логарифмически нормальному и др.

Чисто технически трудности заставляют нас ограничиться только планами и . Естественно, что последующие результаты применимы при обработке результатов не только элементов, но и сложных систем и машин (например, космических кораблей, комбайнов, сложной техники).

План

Напомним, что план означает испытание N элементов до отказа последнего элемента;отказавшие элементы не заменяются новыми.

План можно использовать или в случае, когда элементы сравнительно ненадежны, или же при проведении ускоренных испытаний.

Предположим, что испытываемые элементы занумерованы числами 1, …, N и i-й элемент отказывает в момент . Первый отказ наступает в момент , где - номер элемента, оказавшего первым; - случайное число. Второй отказ наступает в момент и т. д.

Наконец, в момент отказывает последний элемент.

В статистике так упорядоченную последовательность чисел называют вариационным рядом или порядковыми статистиками для наблюдений .

При использовании наблюдаются только те отказы, которые происходят до момента времени Т. Если - последовательные моменты отказов, то, в результате испытаний мы наблюдаем случайное число отказов, происходящих в моменты (Отказ с номером , если он возможен, наступает после момента Т).

Таким образом, означает номер последнего отказа, который происходит до момента Т окончания испытаний. Если элементы достаточно надежно работают в интервале времени (0, Т), то нередко случается, что отказы не наблюдаются и =0.

Заметим теперь же, что отсутствие отказов во время испытаний, т.е. условие =0, не дает нам право заключить, что надежность изделий равна 1.

Наиболее полной характеристикой надежности элементов является функция распределения F(t) времени безотказной работы.

О виде функции распределения можно судить по так называемой эмпирической функции распределения, определяемой посредством равенства для значений х, .

Согласно теореме Гливенко с вероятностью 1 .

Рис.1. Эмпирические функции распределения и .

На рисунке показаны эмпирические функции распределения и , когда теоретическая функция распределения . Если используется план , то значения эмпирической функции могут быть определены только для . Если же используется план , то значения эмпирической функции определяются только до уровня .

Оценкой плотности вероятностей может служить так называемая гистограмма .

В отличие от эмпирической функции гистограмма может быть построена различными способами.

Например, можно разбить область значений времени t на интервалы и на каждом из этих интервалов положить

где - число отказов, которые наблюдались в интервале .

Рис.2. Гистограмма для показательного закона F(t)

На рис. 2, а приведен пример построения гистограммы для показательного закона

При втором способе выбирается число интервалов, так что , при этом , а остаток от деления также близок к Первый интервал - , где совпадает с моментом отказа, второй интервал - совпадает с моментом отказа и т.д., наконец, k -й интервал -

Последний, (k+1)-й, интервал -

На каждом из k интервалов группировки , полагаем

на интервале Гистограмма, построенная по этому способу для

Функция опасности отказов определяется по формуле

Если число испытываемых элементов N велико и интервалы между последовательными моментами отказов сравнительно невелики, то можно построить эмпирическую функцию опасности отказов. Ось времени разбиваем на несколько участков

Оценкой для является отношение - случайная величина. За оценку для берем - число элементов, отказавших на интервале Эмпирическую функцию опасности отказов полагаем равной отношению При этом интервалы можно выбирать способом, аналогичным одному из описанных выше способов построения гистограммы.

Иногда не обязательно знать всю функцию распределения , ее плотность или ее функцию отказов , а достаточно знать лишь некоторые характеристики: моменты, квартили и др.

Момент k - го порядка в случае плана определяется по формуле

центральный момент порядка - по формуле

Число такое, что , называется квантилью уровня р .

Эмпирической квантилью уровня р называется одно из решений уравнения . Мы всюду предполагаем, что является непрерывной.

Три типа статистической устойчивости

В случае плана нам известна вся эмпирическая функция распределения , а в случае плана - лишь часть ее определенная для значений .

Для оценки неизвестной функции распределения и различных числовых ее характеристик возможны три принципиально различных подхода, соответствующих различным реальным условиям, в которых решается задача.

В первом, наиболее простом случае заранее известен тип закона распределения .

Например, в результате теоретических исследований и последующей экспериментальной проверки показано, что для определенного типа элементов и аппаратуры закон распределения времени безотказной работы является показательным, т.е. Неизвестно лишь значение параметра которое надо оценить по результатам проведенных испытаний.

Во втором случае не теоретических соображений, из которых следовало бы, что тип закона распределения должен быть вполне определенным, например, показательным, логарифмически нормальным или каким-то другим. Однако результаты испытаний показывают, что эмпирические функции распределения могут быть приближены плавно меняющимися функциями распределений.

Из предварительной обработки экспериментальных данных видно, что качественный характер поведения эмпирических функций распределения или гистограмм не меняется от партии к партии.

Пусть гистограммы имеют существенную асимметрию и одновершинны.
В таких случаях подбирают одно из возможных семейств функций распределения, или плотностей, для которого качественное поведение функций распределения, или плотностей, соответствует полученным экспериментальным данным.

Если семейство распределений выбрано, то задача определения функции и ее характеристик сводится к оценке по результатам испытания неизвестных значений параметров или функций от них.

Например, если мы пытаемся приближенно описать данные с помощью логарифмически нормального закона, то неизвестными значениями параметров являются

При этом в самом начале работ полезно сравнить результаты, получаемые при использовании двух-трех типов семейств распределений. Если два семейства дают одинаково хорошие результаты, то для дальнейшего использования выбирается то из них, для которого можно предложить теоретические обоснования.

В том же случае, когда теоретических предпосылок для выбора распределения нет, нужно предпочесть то, для которого трудоемкость числовых расчетов меньше.

Возможен, однако, и третий случай условий производства, когда качественный характер эмпирической функции меняется от партии к партии или же когда для приближений нужны семейства со многими неизвестными параметрами и соответственно требуются громоздкие вычисления необходимых характеристик.

В этих случаях можно использовать некоторые методы непараметрической статистики, т.е. методы, не связанные с аналитическим видом функции распределения .

Для весьма надежных элементов реализация плана или приводит к необходимости проведения испытаний в течение многих тысяч часов. Именно по этой причине часто используются различные планы с фиксированной длительностью испытаний (, , , и др.).

При этом по наблюдениям, полученным за ограниченный промежуток времени, нужно оценить различные показатели надежности, связанные с отказами, которые могут произойти после момента Т , среднее время безотказной работы в течение времени и др.

Использование результатов за ограниченное время наблюдения для получения оценок всевозможных характеристик надежности законно в первом случае, когда вид функции распределения нам известен до опыта и только неизвестны значения параметров, определяющих этот закон.

Во втором случае надо иметь достаточный статистический материал, который хотя бы косвенно подтверждал правильность выводимых числовых оценок. Таким косвенным подтверждением могут служить результаты испытаний отдельных партий элементов, проводившихся в течение длительного времени, или сведений об отказах эксплуатируемого оборудования.

Наконец, в третьем случае, когда нет устойчивости даже качественного поведения эмпирической функции распределения, получения оценок любых характеристик надежности, которые определяются по значениям для t > T , где Т - время испытаний, не является законным. В этом случае, прежде всего, необходимо отладить технологический процесс.

В подтверждение этих соображений рассмотрим следующий пример. В нем мы намеренно "сгустили краски". Предположим, что проводятся испытания элементов N=100. Каждый элемент состоит из двух частей, отказ каждой из которых приводит к отказу элемента (например, проводящий слой сопротивления и контакты). Отказы обеих частей происходят независимо друг от друга.

Таким образом, если - момент, когда произойдет отказ первой части (обрыв), а - момент отказа второй части (уход параметра за пределы допуска), то считается, что отказ элемента произойдет в момент. Предположим далее, что

Однако экспериментатору неизвестно, что закон распределения времени безотказной работы

Вид функции показан на рис. 3.

Рис.3. График функции F(t)

Было решено проводить испытания в течение Т=500 час. Вероятность отказа первого элемента равна

Таким образом, мы в среднем наблюдаем число отказов NF(T) приблизительно равным 100, причем практически все наблюдаемые отказы будут только первого типа (обрыв), так как отказы второго типа (уход параметров) при сделанных выше предположениях начнут наступать после 800 час работы, но зато уже к 1200 час работы почти все элементы выйдут из строя вследствие отказов второго типа.

Отказов второго типа в течение Т=500 час мы не наблюдаем, поэтому ошибочно считаем, что закон , и по результатам этих испытаний пользуясь методами следующего параграфа, находим оценку для близкую к 2000.

Итак, по результатам испытаний, проводимых в течение Т=500 час, сделан ошибочный вывод относительно характера распределения.

Вывод из этого примера таков. Надо сначала проверить теоретически или экспериментально (а лучше обоими путями), что вид закона и при значениях t , больших времени Т проведения испытаний, не меняется, а уже затем получать оценки для характеристик надежности.

Рассмотрим теперь некоторые общие методы получения оценок параметров распределения времени безотказной работы. При оценке параметров конкретного семейства распределений могут быть употреблены различные методы. В зависимости от используемого метода будут получаться отличающиеся друг от друга оценки неизвестных значений параметров.

Необходимо провести сравнение различных методов и для дальнейшего выбрать метод, дающий наилучшие результаты. В тех случаях, когда вычисления приходится выполнять вручную, нужно оценивать метод и с точки зрения трудоемкости вычислений.

Графические методы

Первая и наиболее простая группа методов - графические методы оценки. Они применимы для некоторых семейств , содержащих два неизвестных параметра График функции распределения можно представить в виде совокупности точек (t, p) на плоскости, где . Основная идея графического метода состоит в том, что подбирается такая непрерывная замена координат , что при этом график функции распределения , где , становится прямой линией . Если такую замену переменных удалось отыскать, то на плоскости любая функция распределения этого семейства будет представима в виде прямой или, что то же самое, в виде прямой

Используем этот факт для оценки параметров Предположим, что в результате испытаний получены N значений некоторой случайной величины (например, времени безотказной работы элемента или интервалов между отказами в аппаратуре).

По этим значениям мы можем построить эмпирическую функцию распределения . Так как эмпирическая функция при больших N лежит вблизи от теоретической функции распределения , то после замены переменных график , а , будет лежать в непосредственной близости от графика , являющегося прямой вида (1).

Оценив с помощью линейки тангенс наклона k и свободный член b и приравняв их теоретическим значениям, получаем уравнения

из которых находим оценки неизвестных значений параметров

Уместно заметить, что графический метод применим для любого плана , , , , , .

Например, в случае плана по результатам испытаний можем построить только часть для значений - число элементов, отказавших за время проведения испытаний. Если к полученному куску эмпирической функции распределения применить преобразования , то на плоскости получим кусок ломаной, близкой к одной из прямых вида (1).). По этому куску оцениванием k и b и снова приходим к уравнению (2).

Для примера, рассмотрим три семейства распределений. В случае нормального семейства распределений.

в качестве преобразования рассмотрим функцию , обратную к функции . При этом получаем

Таким образом, (3) соответствует (2), когда

Для удобства пользования выпускается специальная нормальная вероятностная бумага. По оси абсцисс отложены значения t случайной величины, а по оси ординат - значения функции . При этом ось t проводится через точку 0, соответствующую .

Около каждого значения отмечается соответствующее ему значение р (рис. 4).

Рис.4. Нормальная вероятностная бумага

Функция распределения записывается в виде прямой y=x . Прямой соответствует функция распределения нормальной случайной величины со средним и дисперсией .

Таким образом, с помощью вероятностной бумаги можно легко проверять "на глаз" нормальность закона распределения, а заодно и оценивать его параметры. Если ломаная имеет заметную искривленность, то это говорит о том, что истинный закон распределения не является нормальным.

Если же искривленности нет, то, проводя "на глаз" прямую, наиболее плотно прилегающую к ломаной, легко находим оценки для и . равно абсциссе точки А, где А - точка пересечения прямой с осью t; равно расстоянию от А до В, где В - точка на оси t, в которой величина перпендикуляра, опущенного из точки прямой на ось t, равна 1 (в единицах масштаба оси абсцисс).

В случаях логарифмически нормального закона , поэтому

Если задано семейство показательных распределений со сдвигом

(4)

где . Поэтому в качестве выбираем функцию . Сравнивая (4) с (1), видим, что .

Наконец, если нам задано семейство распределений Вейбулла

то

(5)

Сравнивая (5) с (1), находим, что

Вид бумаги для закона Вейбулла показан на рис. 5.

Рис.5. Вид бумаги для закона Вейбулла

Таким образом, тангенс угла наклона равен р, а логарифм равен величине отрезка ОА, отсекаемого прямой на оси ординат.

Методы квантилей и моментов

Для получения оценок неизвестных значений параметров, определяющих вид закона распределения времени безотказной работы, могут быть использованы методы моментов и квантилей.

Здесь мы рассматриваем эти методы с точки зрения обработки результатов испытаний, полученных при использовании некоторых планов типа Б. Для определенности мы ограничимся случаем двух неизвестных параметров и .

Пусть закон распределения времени безотказной работы имеет непрерывно дифференцируемую плотность, принимающую положительные значения для любых возможных значений параметров , .

Если испытания проводились по плану , , то момент появления -го отказа можно рассматривать как эмпирическую квантиль, соответствующую уровню . Если и N достаточно велики, то можно считать, что имеют нормальное распределение с нулевым средним и матрицей дисперсий

где

Если бы значения квантилей , были ним известны точно, то значения параметров , можно было бы найти из уравнений (6)

Нам известны, лишь приближенные значения этих квантилей - моменты появления l -го и r -го отказов. Заменяя в уравнениях (6) значения квантилей их оценками, получаем уравнения

решения которых являются состоятельными оценками для параметров , при , что непосредственно следует из непрерывности функции . Можно показать, что эти оценки при весьма общих предположениях типа гладкости функции являются асимптотически несмещенными и асимптотически нормально распределенными.

Поэтому наиболее существенными показателями качества таких оценок являются их дисперсии.

Проиллюстрируем метод квантилей на примере закона Вейбулла

Испытания проводятся по плану . Выбирается значение l (можно выбрать ). В результате испытаний фиксируются значения и моментов l -го и r -го отказов.

Уравнения (7) переписываются в виде

Решая их относительно неизвестных значений параметров p, , получаем оценки

Если предположить, что у существуют вторые непрерывные частные производные по t и параметрам , , то, используя обычный прием разложения в ряд Тейлора, можно получить приближенное выражение для дисперсии оценок параметров , .

Введем обозначения

Из уравнений (7) находим

Заметив, что , получаем с точностью до бесконечно малых высших порядков

(8)
Аналогично находим, что
(8")

Разрешая эти линейные уравнения (8) и (8") относительно ошибок , получаем их в виде линейных комбинаций от :

Отсюда, используя матрицу вторых моментов для квантилей , можно найти дисперсии ошибок

(9)

В частности, в случае закона Вейбулла получаем

Метод квантилей в несколько видоизмененной форме можно использовать и в случае планов . В этом случае вместо уравнения (6) можем записать

где . Однако значения при нам неизвестны. Нам известны лишь числа отказов, происшедших к моментам . При больших значениях N отношения близки к теоретическим значениям . Поэтому, заменяя в (10) значения их оценками, получаем уравнения

(11)

для нахождения оценок . Используя разложение функции в ряд Тейлора по параметрам и , можно найти приближенные выражения для дисперсий оценок.

Если объем выборки N велик, то можно для получения оценки параметров использовать не все данные, а только значения k определенным образом выбранных эмпирических квантилей,

При этом числа подбираются таким образом, чтобы дисперсии ошибок неизвестных параметров были бы минимальными.

Например, для случая закона экспоненциального типа оценка ищется в виде линейной комбинации

(12)

где коэффициенты и числа подобраны таким образом, чтобы дисперсия оценки была наименьшей. Как известно, наилучшей оценкой для параметра при использовании всех данных является . Подсчет отношения дисперсий этих оценок в зависимости от выбранного числа квантилей k показал, что

Так же как и метод квантилей, метод моментов может быть использован только при обработке результатов испытаний, в которых наблюдаемое число отказов достаточно велико. Если испытания проводится в соответствии с планом , то условная плотность вероятности распределения момента отказа при условии, что такой отказ произошел за время испытаний Т, равна .

Таким образом, для момента k-го порядка, относящегося к наблюдаемым отказам, имеем (13)

Структурная схема надежности приведена на рис 7.1. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/ч.

1. В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что
, получим

2. Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом В и учитывая, что
, получим

3. Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их элементом С, для которого при

. (7.3)

4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом D, для которого при
, получим

5. Элементы 10 и 11 с параллельным соединением заменяем элементом Е, причем, так как
, то

6. Элементы 12 , 13 , 14 и 15 образуют соединение “2 из 4”, которое заменяем элементом F. Так как, то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться комбинаторным методом (см. раздел 3.3):

(7.6)

7. Преобразованная схема изображена на рис. 7.2.

8. Элементы A, B, C, D и Е образуют (рис. 7.2) мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента (см. раздел 3.4), в качестве которого выберем элемент С. Тогда

где
- вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе С (рис. 7.3, а),
- вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе С (рис. 7.3, б).

Учитывая, что
, получим

(7.8)

9. После преобразований схема изображена на рис. 7.4.

10. В преобразованной схеме (рис. 7.4) элементы 1, G и F образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы

(7.9)

11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 7.1) подчиняются экспоненциальному закону:

(7.10)

12. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 15 исходной схемы по формуле (7.10) для наработки до
часов представлены в таблице 7.1.

13. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D, E, F и G по формулам (7.1) - (7.6) и (7.8) также представлены в таблице 7.1.

14. На рис. 7.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

15. По графику (рис. 7.5, кривая P) находим для

- процентную наработку системы
ч.

16. Проверочный расчет при
ч показывает (таблица 7.1), что
.

17. По условиям задания повышенная - процентная наработка системы ч.

Таблица 7.1

Расчет вероятности безотказной работы системы

		Наработка t, x 10 6 ч

Рис 7.5. Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р), системы с повышенной надежностью (Р`) и системы со структурным резервированием элементов (Р``).

18. Расчет показывает (таблица 7.1), что при
ч для элементов преобразованной схемы (рис. 7.4)
,
и
. Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (система “2 из 4” в исходной схеме (рис. 7.1)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

19. Для того, чтобы при
ч система в целом имела вероятность безотказной работы
, необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы (см. формулу (7.9))

(7.11)

При этом значении элемент F останется самым ненадежным в схеме (рис. 7.4) и рассуждения в п.18 останутся верными.

Очевидно, значение
, полученное по формуле (7.11), является мини-мальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5раза, при более высоких значениях
увеличение надежности системы будет большим.

20. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 12 - 15 (рис. 7.1) необходимо решить уравнение (7.6) относительно
при
. Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями, более целесообразно использовать графо-аналитический метод. Для этого по данным табл. 7.1 строим график зависимости
. График представлен на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Зависимость вероятности безотказной работы системы “2 из 4” от вероятности безотказной работы ее элементов.

21. По графику при
находим
.

22. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (7.10), то для элементов 12 - 15 при
находим

ч. (7.12)

23. Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 12, 13, 14 и 15 и снизить интенсивность их отказов с
до
ч, т.е. в 1.55 раза.

24. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 12, 13, 14 и 15 приведены в таблице 7.1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы “2 из 4” F` и системы в целом P`. При
ч вероятность безотказной работы системы , что соответствует условиям задания. График приведен на рис 7.5.

25. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям (см. п. 18) также выбираем элемент F, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже
(см. формулу (7.11)).

26. Для элемента F - системы “2 из 4” - резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция
дискретна.

27. Для повышения надежности системы “2 из 4” добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 12 - 15, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента F не достигнет заданного значения.

Для расчета воспользуемся комбинаторным методом (см. раздел 3.3) :

Добавляем элемент 16, получаем систему “2 из 5”:

(7.13)

- добавляем элемент 17, получаем систему “2 из 6”:

(7.15)

Добавляем элемент 18, получаем систему “2 из 7”:

(7.17)

28. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме (рис. 7.1) систему “2 из 4” достроить элементами 16, 17 и 18 до системы “2 из 7” (рис. 7.7).

29. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы “2 из 7” F`` и системы в целом P`` представлены в таблице 7.1.

30. Расчеты показывают, что при
ч , что соот-ветствует условию задания.

31. На рис. 7.5 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 12 - 15 (кривая
) и после структурного резервирования (кривая
).

1. На рис. 7.5 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая ). Из графика видно, что 50% - наработка исходной системы составляет
часов.

2. Для повышения надежности и увеличения 50% - наработки системы в 1.5 раза (до
часов) предложены два способа:

а) повышение надежности элементов 12, 13, 14 и 15 и уменьшение их отказов с
до
ч;

б) нагруженное резервирование основных элементов 12, 13, 14 и 15 идентичными по надежности резервными элементами 16, 17 и 18 (рис. 7.7).

3. Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) (рис. 7.5) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до
часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая
) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая
).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Биномиальные коэффициенты